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Die Geschichte der Primzahlen ist eigentlich nur die der Entdeckungen über Primzahlen oder verwandte mathematische Phänomene. Primzahlen hat es immer schon gegeben und wird es auch immer geben; sie haben keine Geschichte. Inhalt:
Das erste Volk, das sich mit den Primzahlen beschäftigte, waren die alten Griechen. Die Mathematiker der pythagoräischen Schule (500-300 v. Chr.) interessierten sich besonders für die Zahlentheorie und sahen darin etwas mythisches. Sie verstanden das Prinzip der Primzahlen und entdeckten und erforschten perfekte und befreundete Zahlen. Sie machten zwar zahlreiche bedeutende Entdeckungen, es gelang ihnen allerdings nicht, ihre Theorien zu beweisen. Eine neue Ära der Primzahlerforschung wurde um 300 v. Chr. mit dem Erscheinen der Elemente von Euklid eingeleitet. Das griechische Universalgenie bewies in seinem Buch erstmals, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dies ist einer der ersten bekannten mathematischen Beweise der einen Widerspruch benutzt, um eine Vermutung zu begründen. Außerdem bewies Euklid eine der wichtigsten Grundlagen der Arithmetik, dass nämlich jede Ganzzahl als das Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann. Auch konnte Euklid zeigen, dass, wenn es ein n gibt, mit dem 2^n-1 eine Primzahl ist, (2^n-1)*2^(n-1) eine perfekte Zahl ist. Erst 2000 Jahre später, im Jahre 1747, konnte der schweizer Mathematiker Euler die Umkehrung dieses Satzes bewiesen und auch zeigen, dass alle geraden perfekten Zahlen dieser Form sein müssen. Ob es ungerade perfekte Zahlen gibt, ist bis heute unbekannt. Die Zeit der großen griechischen Mathematiker endete mit Eratosthenes um 200 v. Chr., der einen Algorithmus zum Berechnen von Primzahlen entdeckte. Dieser wird heute Sieb des Eratosthenes genannt. In der Folgezeit wurde keinerlei mathematische Forschung betrieben. Fast sämtliche von den Griechen entdeckten mathematischen Erkenntnisse gerieten während der Römerzeit und des Mittelalters in Vergessenheit. Erst während der Renaissance begann man sich wieder der Mathematik und so auch der Primzahlen anzunehmen. Dabei mussten viele Erkenntnisse der alten Griechen erst wieder neu entdeckt werden. Die ersten Erforschungen der Neuzeit behandelten Zahlen der Form 2^n-1. Dass nicht alle Zahlen dieser Form mit n als Primzahl wieder eine Primzahl ist, wurde 1536 entdeckt. 1588 bewies der Italiener Cataldi, dass 2^19-1 eine Primzahl ist. Diese Zahl blieb ca. 200 Jahre lang die größte bekannte Primzahl. Die erste wirklich bedeutende Entdeckung seit Eratosthenes gelang Fermat zu Beginn des 17. Jahrhunderts. Er bewies die Theorie von Albert Giardi, dass jede Primzahl der Form 4n+1 als Summe von zwei Quadraten geschrieben werden kann und war auch in der Lage zu zeigen wie jede Zahl als Summe von vier Quadraten geschrieben werden kann. Auch eine neue Art des Faktorisieren von großen Zahlen geht auf Fermat zurück. Seine berühmteste Entdeckung war aber die, die heute Fermat´s kleiner Satz genannt wird. Darin beweist er, dass wenn p eine Primzahl ist für jede Ganzzahl a gilt a^p=a mod p. Damit hatte er die Hälfte der schon 2000 Jahre alten chinesischen Hypothese bewiesen, nach der n nur dann eine Primzahl ist, wenn 2^n-2 durch n teilbar ist. Fermat´s Satz ist die Basis für viele andere Erkenntnisse in der Zahlentheorie und für die meisten der von modernen Computern genutzten Verfahren zum Prüfen von Primzahlen. Fermat hatte auch Kontakt zu anderen Mathematikern seiner Zeit, so auch zu Mersenne. Der schweizer Mönch widmete sich intensiv der Erforschung von Zahlen der Form 2^n-1, die Primzahlen sind. Dabei fand er heraus, dass Zahlen dieser Form nur dann Primzahlen sind, wenn n eine Primzahl ist. Allerdings gilt das nicht für alle Primzahlen. Daher heißen auch Primzahlen n für die 2^n-1 eine Primzahl ist, Mersennesche Primzahl, geschrieben Mn .Sämtliche Primzahlrekorde der heutigen Zeit sind dieser Form, da es sich leicht überprüfen lässt, ob sie Primzahlen sind. Eine Methode, eine Zahl darauf zu Prüfen, entwickelten und bewiesen die beiden Mathematiker Lucas und Lehmer zusammen, daher wird dieses Verfahren auch Lucas-Lehmer-Test genannt. Der
nächste bedeutende Mathematiker, der sich mit Primzahlen
beschäftigte, war Leonard Euler , ein schweizer Mathematiker,
der hauptsächlich auf dem Gebiet der reinen Mathematik arbeitete
und diese auch begründete.
Die beiden
Mathematiker Gauss und Legendre stellten sich Anfang des 19.
Jahrhunderts als erste die Frage, ob es bei der Anzahl der Primzahlen
bis zu einer Zahl n eine Regelmäßigkeit gäbe.
Unabhängig voneinander kamen beide zu der Ansicht, diese Anzahl
müsse nahe 1/log(n) liegen. Legendre gab dieser Funktion, die
die Anzahl der Primzahlen bis n angibt den Namen à(n).
Nach Legendre ist à(n) ungefähr
n/(log(n)-1.08366) während Gauss zu dem Ergebnis (1/log(t))
während t von 2 nach n läuft. Beide Varianten liefern
vergleichbare Ergebnisse. Der Satz, dass 1/log(n) ungefähr à(n)
ist, wird Primzahlsatz genannt.Während des 19. Jahrhunderts
versuchten zahlreiche Mathematiker, diesen Satz zu beweisen, alle
jedoch scheiterten. Den größten Beitrag zur Lösung
dieses Problems leisteten wohl Hadamard und de la Vallée
Poussin, denen es gelang das Resultat der sogenannten Riemann
Zeta-Funktion zu beweisen. Mitte
unseres Jahrhunderts begann das Zeitalter der Computer. Diese
brachten zwar kaum neue Erkenntnisse auf dem Gebiet der
Zahlentheorie, jedoch einen Primzahlrekord nach dem anderen. Der
erste, der den Computer zum Finden von Primzahlen nutzte, war der
Amerikaner Robinson. Die größte Primzahl, die er fand, war
M2281, im Jahre 1952. In der Folgezeit wurde alle paar
Jahre ein neuer Rekord aufgestellt. Der neueste Rekord, M3021377
, ist datiert auf den 27.1.1998, und wurde gefunden im Rahmen
von GIMPS, der Great Internet Mersenne Prime Search, einer
Organisation im Internet, bei der jedes Mitglied einen bestimmten
Zahlenraum zugewiesen bekommt, in dem es mit bestimmten Programmen
nach Mersenneschen Primzahlen sucht. Der größte derzeit
bekannte Primzahlzwilling ist 242206083*238880 Der bekannteste Primzahlforscher der gegenwart ist sicherlich der
Amerikaner Caldwell, der sich intensiv um Primzahlen der Form n!-/+1
kümmerte. Er war es auch, der 1993 die bisher größte
Primzahl dieser Form fand, nämlich 3610!-1. Obwohl in
letzter Zeit kaum neue Erkenntnisse über Primzahlen gewonnen
wurden, stehen die Mathematiker heute vor ungefähr 100
ungelösten Problemen die direkt oder indirekt mit Primzahlen zu
tun haben. Das berühmteste dieser Probleme, an dem sich schon
viele namhafte Mathematiker versucht haben, ist die Frage, ob es
unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. So bleibt auch in Zukunft
viel Raum für Erforschungen auf dem Gebiet der Primzahlen. Quellen:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Prime_numbers.html
und Biographien bedeutender Mathematiker ® All
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