Mersennesche Primzahlen

1. Was sind Mersennesche Primzahlen ?

2. Zusammenhang mit Perfekten Zahlen

3. Liste der Mersenne-Exponenten

Was sind Mersennesche Primzahlen ?

Der Mönch M. Mersenne (1688-1645) stellte fest, daß M_n=2^p-1 eine Primzahl sein kann, wenn der Exponent p selbst eine Primzahl ist. Ist M _n eine Primzahl, dann nennt man diese Zahl eine Mersennesche Primzahl

Beispiel:

Für die Zahlen p=2,3,5,7,13,17 erhält man eine Mersennesche Primzahlen, doch setzt man p=11 erhält man keine Mersennesche Primzahl.

p	=	13
M13	=	213-1
	=	2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2-1
	=	8191
p	=	11
M11	=	211-1
	=	2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2-1
	=	2047 ist durch 23 teilbar

Um so höher der Exponent (p) ist, desto sicherer ist das System. Man vermutet, daß es unendlich viele Mersennesche Primzahlen gibt, kann dies aber heute noch nicht beweisen.

Zusammenhang mit Perfekten Zahlen

Der Lucas-Lehmer Test wurde 1930 für die Prüfung von Mersenne-Exponenten (M(n) = 2ⁿ -1) entwickelt:
Zuerst legt man eine Tabelle mit den Variablen schritt , u und u² -2 an.
schritt = 0 und u = 4
Nun berechnet man u² -2 mod 2ⁿ -1. dieses Ergebnis überträgt man in die nächste Zeile, wobei schritt um 1 erhöht wird. Diese Prozedur wird bis zum Schritt (n-2) wiederholt.
In diesem Beispiel ist n = 5 also: (2⁵ -1 = 31)

Liste der Mersenne-Exponenten