Perfekte Zahlen:

1.Erklärung von perfekten Zahlen

• Eine Eine Zahl ist perfekt, wenn die Summe ihrer Teiler die Zahl*2 ergibt. (D.h., daß die Teilersumme*2 die Zahl ergibt.)

• Wenn 2ⁿ-1 eine Primzahl ist, dann ist 2^(n-1)*(2ⁿ-1) perfekt.

• Wenn a eine perfekte gerade Zahl ist,dann gibt es ein n mit:
  1. a = 2^(n-1)*(2ⁿ-1).
  2. 2ⁿ-1 ist eine Primzahl.

• Es ist bis heute unbekannt, ob es ungerade perfekte Zahlen gibt!

• ts(a) =ts(2^(n-1) *2ⁿ-1)
  =ts(2^n-1*ts(2ⁿ-1)
  =(2ⁿ-1)/(2-1)*((2ⁿ-1)+1)
  =(2ⁿ-1)*2ⁿ
  =(2ⁿ-1)*(2*2^(n-1))
  =2*(2ⁿ-1)*(2^-1)
  =2*n
  

2.Beispiele

1. 6 hat die Teiler: 1, 2, 3, 6. Die Teilersumme ist also 12, weil 1+2+3+6 = 12 ist. Deshalb ist die Zahl 6 perfekt, denn 12 = (6*2).
   

a.) 6 hat die Teiler: 1, 2, 3, 6. Die Teilersumme ist also 12, weil 1+2+3+6 = 12 ist. Deshalb ist die Zahl 6 perfekt, denn 12 = (6*2).

b.) 28 hat die Teiler: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Die Teilersumme ist also 56, weil 1+2+4+7+14+28 = 56 ist. Deshalb ist die Zahl 28 perfekt, denn 56 = (28*2).

c.) 496 hat die Teilersumme 992. Deshalb ist die Zahl 496 perfekt, denn 992 = (496*2).

d.) 8.128 hat die Teilersumme 1.6256. Deshalb ist die Zahl 8.128 perfekt, denn 16.256 = (8.128*2).

e.) 33.550.336 hat die Teilersumme 67.100.672. Deshalb ist die Zahl 33.550.336 perfekt, denn 67.100.672 = (33.550.336*2).

f.) 8.589.869.056 hat die Teilersumme 17.179.738.112. Deshalb ist die Zahl 8.589.869.056 perfekt, denn 17.179.738.112 = (8.589.869.056*2).

3.Zerlegung